Gimė 1964 m. gegužės 15 d. Rokiškyje, mokytojų šeimoje.
1982 m. baigė Rokiškio E. Tičkaus vidurinę mokyklą.
1987 m. baigė Kauno medicinos instituto (dabar – Kauno medicinos universitetas) Farmacijos fakultetą ir įgijo provizoriaus specialybę.
Tais pačiais metais pradėjo dirbti Plungės rajono Alsėdžių vaistinėje vedėju.
1992 m. įsteigė A. Klišonio komercinę firmą „Inesa”- tai buvo viena pirmųjų privačių vaistinių Vakarų Lietuvoje.
2003 m. Plungėje įsteigė šeimos kliniką „Inesa“.
1989 – 1990 m. – Plungės rajono liaudies deputatų tarybos deputatas.
1990 – 1995 m., 1997 – 2000 m., 2004 – ir šiuo metu – Plungės rajono savivaldybės tarybos narys; nuo 2014 m. – Plungės rajono savivaldybės meras.
2000 – 2004 m. Lietuvos Respublikos Seimo narys, Sveikatos reikalų komiteto narys, Seimo delegacijos Baltijos Asamblėjoje vadovas. Už darbą Baltijos Asamblėjoje apdovanotas Baltijos Asamblėjos medaliu.
2010 – 2012 m. – Lietuvos Respublikos sveikatos apsaugos ministro pavaduotojas.
Nuo 1994 m. – Plungės „Rotary” klubo narys, 2013 – 2014 m. klubo prezidentas.
2001 – 2002 m. – Lietuvos dziudo federacijos prezidentas.
2005 – 2007 m. – Lietuvos regionų krepšinio lygos viceprezidentas.
Nuo 1992 m. – Lietuvos liberalų sąjungos, vėliau – Lietuvos liberalų ir Centro sąjungos (LiCS) narys, nuo 2003 – 2014 m. – LiCS valdybos narys, partijos pirmininko pavaduotojas. Nuo 2014 m. – Lietuvos Respublikos liberalų sąjūdžio narys, tarybos narys.
Angažuojasi sveikatos apsaugos sistemos srityje. 2007 m. dienraščio „Lietuvos sveikata” surengtuose rinkimuose pripažintas „Metų vadybininku“.
Pomėgiai: vandens turizmas, kalnų slidinėjimas, krepšinis.
Moka vokiečių, rusų kalbas.
Žmona Inesa Klišonienė – provizorė.
Turi 2 vaikus: sūnų Vytautą ir dukrą Jomantę.